Question

【題目】如圖所示，MCN是某海灣旅游區的一角，為營造更加優美的旅游環境，旅游區管委會決定建立面積為4 平方千米的三角形主題游戲樂園ABC，并在區域CDE建立水上餐廳．已知∠ACB=120°，∠DCE=30°．
（1）設AC=x，AB=y，用x表示y，并求y的最小值；
（2）設∠ACD=θ（θ為銳角），當AB最小時，用θ表示區域CDE的面積S，并求S的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AC=x，AB=y，∠ACB=120°，

S△ABC= ACBCsin120°= =4 ，

∴BC= ．

△ABC中，利用余弦定理可得AB2=AC2+BC2﹣2ACBCcos120°，

即y2=x2+ +16≥2 +16=48，

∴y≥4 ，當且僅當x2=16，即x=4時，取等號，

故當x=4時，y取得最小值為4 ．

（2）解：設∠ACD=θ（θ為銳角），

當AB最小時，x=AC=4=BC，AB=4 ，∠CAB=∠CBA=30°，

△ACD中，由正弦定理可得 = ，

∴CD= = = ，

△ACE中，由正弦定理可得CE= = = ，

根據區域CDE的面積S= CDCEsin30°= = ，

故當2θ= ，即θ= 時，區域CDE的面積S取得最小值為 =8﹣4 ．

【解析】1、根據題意可設AC=x，AB=y利用余弦定理求得BC的值即得y的函數解析式再利用基本不等式求得y的最小值。
2、由題意可知在△ACD中根據正弦定理求得CD的值在△ACE中再根據正弦定理求得CE的值。根據區域CDE的面積S=,利用正弦函數的值域求得區域CDE的面積最小值。