Question

12．有兩個斜邊長相等的直角三角板，其中一個為等腰直角三角形，另一個邊長為3，4，5，將它們拼成一個平面四邊形，則不是斜邊的那條對角線長是$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 如圖所示，AC⊥BC，BD⊥DA．DB=4，AB=5，AD=3，AC=BC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．設∠DAB=α，cosα=$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$．可得：cos$（α+\frac{π}{4}）$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．在△ACD中，利用余弦定理即可得出．

解答 解：如圖所示，AC⊥BC，BD⊥DA．
DB=4，AB=5，AD=3，AC=BC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
設∠DAB=α，cosα=$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$．
cos$（α+\frac{π}{4}）$=cosαcos$\frac{π}{4}$-sinαsin$\frac{π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
∴在△ACD中，CD²=$（\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{2}$+3²-2×$3×\frac{5\sqrt{2}}{2}$×$（-\frac{\sqrt{2}}{10}）$=$\frac{49}{2}$．
∴CD=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{{7\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查了余弦定理、直角三角形的邊角關系、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．