Question

如圖所示，AF、DE分別是⊙O、⊙O₁的直徑，AD與兩圓所在的平面均垂直，AD=8．BC是⊙O的直徑，AB=AC=6，OE∥AD．
（Ⅰ）求二面角B-AD-F的大小；
（Ⅱ）求直線BD與EF所成的角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由AD與兩圓所在的平面均垂直，則AD⊥AB，AD⊥AF，故∠BAF是二面角B-AD-F的平面角，解三角形∠BAF即可得到結論．
（Ⅱ）以O為原點，BC、AF、OE所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，我們易給出圖象中相應點的坐標，進而利用空間向量法解答，即BD與EF所成的角的余弦值，等于空間向量

BD

與

EF

夾角余弦值的絕對值．

解答：解：（Ⅰ）∵AD與兩圓所在的平面均垂直，
∴AD⊥AB，AD⊥AF，故∠BAF是二面角B-AD-F的平面角，
依題意可知，ABCF是正方形，所以∠BAF=45°．
即二面角B-AD-F的大小為45⁰；
（Ⅱ）以O為原點，BC、AF、OE所在直線為坐標軸，
建立空間直角坐標系（如圖所示），
則O（0，0，0），A（0，-3

2

，0），B（3

2

，0，0），
D（0，-3

2

，8），E（0，0，8），F（0，3

2

，0）
所以，

BD

=(-3

2

，-3

2

，8)，

FE

=(0，-3

2

，8)
cos＜

BD

，

EF

＞=

BD • FE

| BD || FE |

=

0+18+64

100 × 82

=

82

10

設異面直線BD與EF所成角為α，
則α=arccos

82

10

則直線BD與EF所成的角為arccos

82

10

點評：空間兩條直線夾角的余弦值等于他們方向向量夾角余弦值的絕對值；
空間直線與平面夾角的余弦值等于直線的方向向量與平面的法向量夾角的正弦值；
空間銳二面角的余弦值等于他的兩個半平面方向向量夾角余弦值的絕對值；