Question

（2013•廣元一模）如圖所示，AF、DE分別是⊙O和⊙O₁的直徑，AD與兩圓所在平面都垂直，AD=8，BC是⊙O的直徑，AB=AC=6，OE∥AD．
①求二面角 B-AD-F 的大小； 
②求異面直線BD與EF所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先證明平面角∠BAF的大小為二面角B-AD-F的大小，再計算其大小即可；
（2）先證明∠BDO為直線BD與EF所成的角，再在Rt△BDO中計算即可．

解答： 解：（1）∵AD⊥底面ABFC，∴DA⊥AB，DA⊥AF，
∴平面角∠BAF的大小為二面角B-AD-F的大小，
∵AB=AC=6，∴△ABC為等腰直角三角形，BA⊥AC，
又O為AC中點，∴∠BAF=45°，
∴二面角B-AD-F的大小為45°；
（2）∵OE∥AD，DE∥AO，∴四邊形DAOE為矩形，
∴DE∥AO，DE=AO，∴DE∥OF，DE=OF，
連結DO，∴DO∥EF，∴∠BDO為直線BD與EF所成的角．
∵BC⊥AO，∴BO⊥面DAO，∴BO⊥OD．
Rt△BDO中，BO=AO=3

2

，∴DO=

AD2+AO2

=

82

，∴BD=10
∴sinn∠BDO=

BO

BD

₌

3 2

10

∴直線BD與EF所成的角的正弦值為

3 2

10

．

點評：本題考查面面角，考查異面直線所成角的計算，考查學生分析解決問題的能力，正確作出空間角是關鍵，