Question

9．某艦艇在A處測得遇險漁船在北偏東45°方向上的C處，且到A的距離為10海里，此時得知，該漁船沿南偏東75°方向，以每小時9海里的速度向一小島靠近，艦艇的速度為21海里/小時，則艦艇到達漁船的最短時間是$\frac{2}{3}$小時．

Answer 1

分析 設兩船在B點相遇，設艦艇到達漁船的最短時間是x小時，由題設知AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，由余弦定理，知（21x）²=100+（9x）²-2×10×9x×cos120°，由此能求出艦艇到達漁船的最短時間．

解答 解：設兩船在B點相遇，由題設作出圖形，
設艦艇到達漁船的最短時間是x小時，
則AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，
由余弦定理，知（21x）²=100+（9x）²-2×10×9x×cos120°，
整理，得36x²-9x-10=0，
解得x=$\frac{2}{3}$，或x=-$\frac{5}{12}$（舍）．
答：艦艇到達漁船的最短時間是$\frac{2}{3}$小時．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查解三角形在生產實際中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．解題時要注意余弦定理和數形結合思想的靈活運用．