Question

19．某服裝超市舉辦了一次有獎促銷活動，顧客消費每超過600元（含600元），均可抽獎一次，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種．
方案一：從裝有10個形狀、大小完全相同的小球（其中紅球3個，黑球7個）的抽獎盒中，一次性抽出3個小球，其中獎規則為：若摸到3個紅球，享受免單優惠；若摸到2個紅球則打6折，若摸到1個紅球，則打7折；若沒有摸到紅球，則不打折；
方案二：從裝有10個形狀、大小完全相同的小球（其中紅球3個，黑球7個）的抽獎盒中，有放回的摸取，連續3次，每摸到1個紅球，立減200元．
（1）若兩個顧客均分別消費了600元，且均選擇抽獎方案一，試求兩位顧客均享受免單優惠的概率；
（2）若某顧客消費恰好滿1000元，則該顧客選擇哪種抽獎方案更合適？

Answer 1

分析 （1）選擇方案一，計算一位顧客享受免單優惠的概率，從而求出兩位顧客均享受免單優惠的概率值；
（2）選擇方案一時付款金額X的取值，計算對應的概率值，寫出分布列，計算數學期望值；
選擇方案二時，設摸到紅球的個數為Y，付款金額為Z元，計算Z的數學期望，比較即可得出結論．

解答 解：（1）選擇方案一，若享受到免單優惠，則需要摸出3個紅球，
設一位顧客享受免單優惠為事件A，則
P（A）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
所以兩位顧客均享受免單優惠的概率為
P（A）•P（A）=$\frac{1}{14400}$；
（2）若選擇方案一，設付款金額為X元，則
X可能的取值為0，600，700，1000；
計算P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
P（X=600）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{7}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{40}$，
P（X=700）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{7}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{21}{40}$，
P（X=1000）=$\frac{{C}_{7}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{24}$；
所以隨機變量X的分布列為：

X	0	600	700	1000
P	$\frac{1}{120}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{24}$

X的數學期望為：
E（X）=0×$\frac{1}{120}$+600×$\frac{7}{40}$+700×$\frac{21}{40}$+1000×$\frac{7}{24}$=$\frac{4585}{6}$（元）；
若選擇方案二，設摸到紅球的個數為Y，付款金額為Z元，
則Z=1000-200Y，
由已知可得Y～B（3，$\frac{3}{10}$），
數學期望為E（Y）=3×$\frac{3}{10}$=$\frac{9}{10}$，
所以E（Z）=E（1000-200Y）=1000-200E（Y）=820（元）；
因為E（X）＜E（Z），
所以該顧客選擇第一種抽獎方案更合適．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的應用問題，是中檔題．