Question

14．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁，F₂，兩條漸近線分別為l₁，l₂，過F₁作F₁A⊥l₁于點A，過F₂作F₂B⊥l₂于點B，O為原點，若△ABO是邊長為$\sqrt{3}$的等邊三角形，則雙曲線的方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{21}-\frac{y^2}{9}=1$
• B． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{21}=1$
• C． $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1$
• D． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=1$

Answer 1

分析 由F₁A⊥l₁，則丨F₁A丨=b，則丨OA丨=a，ABO是邊長為$\sqrt{3}$的等邊三角形，a=$\sqrt{3}$，求得A點坐標，代入漸近線方程，即可求得b的值，求得雙曲線方程．

解答 解：過A作AD⊥F₁F₂，雙曲線的漸近線方程y=±$\frac{a}$x，
由F₁A⊥l₁，則丨F₁A丨=b，則丨OA丨=a，
由ABO是邊長為$\sqrt{3}$的等邊三角形，丨OA丨=a=$\sqrt{3}$，
∴丨AD丨=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
∴D（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
由D在漸近線y=$\frac{a}$x，解得：b=3，
∴雙曲線的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質，考查雙曲線的漸近線方程，考查數形結合思想，屬于中檔題．