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17.已知兩條直線l1:2x-y=0和l2:x+y+2=0.
(1)過點P(1,1)的直線l與l1垂直,求直線l的方程;
(2)若圓M的圓心在直線l1上,與y軸相切,且被直線l2截得的弦長為$\sqrt{2}$,求圓M的方程.

分析 (1)求出直線l的斜率,即可求直線l的方程;
(2)設圓M的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),利用圓M的圓心在直線l1上,與y軸相切,且被直線l2截得的弦長為$\sqrt{2}$,建立方程,即可求圓M的方程.

解答 解:(1)∵直線l1的斜率k1=2,且l⊥l1…(2分)
∴直線l的斜率$k=-\frac{1}{2}$…(2分)
∴直線l的方程為 $y-1=-\frac{1}{2}(x-1)$,即x+2y-3=0…(2分)
(2)設圓M的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),則$\left\{\begin{array}{l}2a-b=0\\ \\ r=|a|\\{r^2}={(\frac{|a+b+2|}{{\sqrt{2}}})^2}+{(\frac{{\sqrt{2}}}{2})^2}\end{array}\right.$,
解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{5}{7}\\ b=-\frac{10}{7}\\ r=\frac{5}{7}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-2\\ r=1\end{array}\right.$…(4分)
∴圓M的方程為${(x+\frac{5}{7})^2}+{(y+\frac{10}{7})^2}=\frac{25}{49}$或(x+1)2+(y+2)2=1.…(2分)

點評 本題考查直線與圓的方程,考查待定系數法的運用,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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