Question

17．已知兩條直線l₁：2x-y=0和l₂：x+y+2=0．
（1）過點P（1，1）的直線l與l₁垂直，求直線l的方程；
（2）若圓M的圓心在直線l₁上，與y軸相切，且被直線l₂截得的弦長為$\sqrt{2}$，求圓M的方程．

Answer 1

分析 （1）求出直線l的斜率，即可求直線l的方程；
（2）設圓M的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），利用圓M的圓心在直線l₁上，與y軸相切，且被直線l₂截得的弦長為$\sqrt{2}$，建立方程，即可求圓M的方程．

解答 解：（1）∵直線l₁的斜率k₁=2，且l⊥l₁…（2分）
∴直線l的斜率$k=-\frac{1}{2}$…（2分）
∴直線l的方程為 $y-1=-\frac{1}{2}（x-1）$，即x+2y-3=0…（2分）
（2）設圓M的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），則$\left\{\begin{array}{l}2a-b=0\\ \\ r=|a|\\{r^2}={（\frac{|a+b+2|}{{\sqrt{2}}}）^2}+{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{5}{7}\\ b=-\frac{10}{7}\\ r=\frac{5}{7}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-2\\ r=1\end{array}\right.$…（4分）
∴圓M的方程為${（x+\frac{5}{7}）^2}+{（y+\frac{10}{7}）^2}=\frac{25}{49}$或（x+1）²+（y+2）²=1．…（2分）

點評 本題考查直線與圓的方程，考查待定系數法的運用，屬于中檔題．