Question

8．設S_n為數列{a_n}的前n項和，已知a₁=2，對任意p、q∈N^*，都有a_p+q=a_p+a_q，則f（n）=$\frac{{S}_{n}+60}{n+1}$（n∈N^*）的最小值為$\frac{29}{2}$．

Answer 1

分析 對任意p、q∈N^*，都有a_p+q=a_p+a_q，令p=n，q=1，可得a_n+1=a_n+a₁，則${a}_{{n}_{+1}}$-a_n=2，利用等差數列的求和公式可得S_n．f（n）=$\frac{{S}_{n}+60}{n+1}$=$\frac{{n}^{2}+n+60}{n+1}$=n+1+$\frac{60}{n+1}$-1，令g（x）=x+$\frac{60}{x}$（x≥1），利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出．

解答 解：∵對任意p、q∈N^*，都有a_p+q=a_p+a_q，令p=n，q=1，可得a_n+1=a_n+a₁，則${a}_{{n}_{+1}}$-a_n=2，
∴數列{a_n}是等差數列，公差為2．
∴S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n+n²．
則f（n）=$\frac{{S}_{n}+60}{n+1}$=$\frac{{n}^{2}+n+60}{n+1}$=n+1+$\frac{60}{n+1}$-1，
令g（x）=x+$\frac{60}{x}$（x≥1），則g′（x）=1-$\frac{60}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-60}{{x}^{2}}$，可得x∈[1，$\sqrt{60}$時，函數g（x）單調遞減；x∈$[\sqrt{60}，+∞）$時，函數g（x）單調遞增．
又f（7）=14+$\frac{1}{2}$，f（8）=14+$\frac{2}{3}$．
∴f（7）＜f（8）．
∴f（n）=$\frac{{S}_{n}+60}{n+1}$（n∈N^*）的最小值為$\frac{29}{2}$．
故答案為：$\frac{29}{2}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．