Question

19．若f（x）=sin³x+acos²x在（0，π）上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{3}{2}$）
• B． （0，$\frac{3}{2}$]
• C． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)t=sinx，由x∈（0，π）和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出t的范圍，將t代入f（x）后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出臨界點(diǎn)，根據(jù)條件判斷出函數(shù)的單調(diào)性，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系列出不等式，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：設(shè)t=sinx，由x∈（0，π）得t∈（0，1]，
∵f（x）=sin³x+acos²x=sin³x+a（1-sin²x），
∴f（x）變?yōu)椋簓=t³-at²+a，
則y′=3t²-2at=t（3t-2a），
由y′=0得，t=0或t=$\frac{2a}{3}$，
∵f（x）=sin³x+acos²x在（0，π）上存在最小值，
∴函數(shù)y=t³-at²+a在（0，1]上遞減或先減后增，
即$\frac{2a}{3}$＞0，得a＞0，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，+∞），
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及構(gòu)造法、換元法的應(yīng)用，考查化簡、變形能力．