Question

4．已知橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（{a＞b＞0}）$，點F₁，F₂分別為其左右焦點，離心率為e，直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于A，B兩點，點M是直線l與橢圓C的一個公共點，設$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$．
（1）證明：λ=1-e²；
（2）若λ=$\frac{3}{4}$，△MF₁F₂的周長為6，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）判斷直線與橢圓的位置關系，求出切點坐標，利用$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$．化簡求解即可．
（2）利用（1）以及△MF₁F₂的周長為6，求出橢圓的幾何量，然后求解橢圓方程．

解答 解：（1）證明：橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（{a＞b＞0}）$，
直線l：y=ex+a，消去y并化簡可得x²+2cx+c²=0，
可得x=-c，△=0，可知直線與橢圓相切，
切點坐標（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），A（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），B（0，a），
由$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$．可得：
λ=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-e²．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{1-{e}^{2}=\frac{3}{4}}\\{2a+2c=6}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，可得b²=3，
所以所求橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力．