Question

20．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長均為2，D為棱BB₁上一點，E是AB的中點．
（1）若D是BB₁的中點，證明：平面ADC₁⊥平面A₁EC；
（2）若平面ADC₁與平面ABC的夾角為45°，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）推導出CE⊥AB，從而CE⊥平面ABB₁A₁，進而AD⊥CE，再求出AD⊥A₁E，從而AD⊥平面A₁EC，由此能證明平面ADC₁⊥平面A₁EC．
（2）以E為原點，EB為x軸，EC為y軸，過E作垂直于平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出BD的長．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）由AC=BC，AE=BE，知CE⊥AB，
又平面ABC⊥平面ABB₁A₁，所以CE⊥平面ABB₁A₁
而AD?平面ABB₁A₁，∴AD⊥CE，
在正方形ABB₁A₁中，由D，E分別是BB₁和AB的中點，知AD⊥A₁E
而A₁E∩CE=E，∴AD⊥平面A₁EC，
∵AD?平面ADC₁，
∴平面ADC₁⊥平面A₁EC．
解：（2）以E為原點，EB為x軸，EC為y軸，
過E作垂直于平面ABC的垂線為z軸，
建立空間直角坐標系，
設 BD=t，則A（-1，0，0），D（1，0，t），
C₁（0，$\sqrt{3}$，2），
$\overrightarrow{AD}$=（2，0，t），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（1，$\sqrt{3}，2$），
設平面ADC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=2x+tz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=x+\sqrt{3}y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{4}{\sqrt{3}t}-\frac{1}{\sqrt{3}}$，-$\frac{2}{t}$），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵平面ADC₁與平面ABC的夾角為45°，
∴cos45°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{2}{t}}{\sqrt{1+（\frac{4}{\sqrt{3}t}-\frac{1}{\sqrt{3}}}）^{2}+\frac{4}{{t}^{2}}}$，解得t=1．
∴BD=t=1．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．