Question

【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．

（1）求的值；

（2）猜測的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）減函數(shù)；（3）

【解析】試題分析：根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義和函數(shù)定義域中含有x=0,f(0)=0,列方程組解出參數(shù)a，b，寫出函數(shù)的解析式；分離常數(shù)容易猜出函數(shù)為減函數(shù)，用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，步驟為①取值，②作差，③變形，④斷號，最后給出單調(diào)性結(jié)論.恒成立問題，采用分離參數(shù)，求最值，借助“極值原理”求出參數(shù)的范圍

試題解析：

（1）由，可得，檢驗：當(dāng)時， ，定義域為，對任意，都有，所以為奇函數(shù).

（2）在單調(diào)遞減. 以下用定義證明：設(shè)，則，因為函數(shù)在為增函數(shù)，且，所以.又因為，所以，所以，所以在單調(diào)遞減.

（3）由可得，因為在單調(diào)遞減，所以任意，都有恒成立，若，則，符合題意，所以；若，則，令，則，若，則，令，則，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.