Question

【題目】設函數，．

（1）討論函數的單調性；

（2）如果對于任意的，都有成立，試求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（Ⅰ）第一步，在定義域內求函數的導數，通分化簡，第二步，根據定義域，,參數分和兩大類情況進行討論，根據導數的正負，分析函數的單調性；（Ⅱ）根據已知條件的分析，若要不等式恒成立，只需滿足，所以第一步，求函數在給定區間的最大值，利用導數；第二步，根據函數最大值是1，所以，然后反解，得到，第三步，利用導數求函數的最大值．此題考查了導數的綜合應用，求單調區間，主要討論參數的取值，恒成立，轉化為最值問題．

試題解析：（Ⅰ）函數的定義域為，，

當時，，函數在區間上單調遞增；

當a>0時，若，則，函數單調遞增；

若，則，函數單調遞減；

所以，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．

（Ⅱ），，

可見，當時，，在區間單調遞增，

當時，，在區間單調遞減，

而，所以，在區間上的最大值是1，

依題意，只需當時，恒成立，

即恒成立，亦即；

令，

則，顯然，

當時，，，，

即在區間上單調遞增；

當時，，，，上單調遞減；

所以，當x=1時，函數取得最大值，

故，即實數a的取值范圍是