Question

【題目】已知函數．

（1）若，求函數的極值和單調區間；

（2）若在區間上至少存在一點，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）時， 有極小值為． 的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

（2）.

【解析】試題分析：（1）求函數的導數，令導數等于零，解方程，再求出函數的導數和駐點，然后列表討論，求函數的單調區間和極值；（2）若在區間上存在一點，使得成立，其充要條件是在區間上的最小值小于即可．利用導數研究函數在閉區間上的最小值，先求出導函數，然后討論研究函數在上的單調性，將的各極值與其端點的函數值比較，其中最小的一個就是最小值．

試題解析：（1）當， ，

令，得，

又的定義域為，由得，由，得，

所以時， 有極小值為，

的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2），且，令，得到．若在區間上存在一點，使得成立，即在區間上的最小值小于．

當，即時， 恒成立，即在區間上單調遞減，

故在區間上的最小值為．

由，得，即.

當，即時，

①若，則對成立，所以在區間上單調遞減，

則在區間上的最小值為．

顯然， 在區間上的最小值小于不成立．

②若，即時，則有

所以在區間上的最小值為，

由，得，解得，即，

綜上，由①②可知：