Question

6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a=8，A=60°，若S_△ABC=$\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$，則△ABC的周長等于8+$\sqrt{109}$．

Answer 1

分析 利用三角形面積公式列出關系式，將sinA及已知面積代入求出bc的值，利用余弦定理即可求出b+c的值，即可確定出三角形ABC周長．

解答 解：∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$，
∴解得bc=15，
又∵a=8，A=60°，
∴由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-45=64，即解得：b+c=$\sqrt{109}$，
∴△ABC的周長為：a+b+c=8+$\sqrt{109}$．
故答案為：8+$\sqrt{109}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵，屬于基礎題．