【題目】已知函數
.
（1）求函數
的單調區間；
（2）若函數在
取得極小值，若
，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）
【解析】
（1）對
求導，求出
的零點，對
進行分類討論，討論每種情況下的單調性即可；
（2）討論三種情況下的極小值，
時，無極小值；
時，的極小值
，所以成立；
時，的極小值
，構造函數
，判斷
的單調性求出的范圍即可.
（1）由題意，
.
令
解得
，
，
①當時，
時，
，則在
為增函數；
時，
，則在
為減函數；
時，，則在
為增函數；
②當，
時，
，則在
為增函數；
③當時，
時，，則在
為增函數；
時，，則在
為減函數；
時，，則在
為增函數；
綜上所述：當時，在為減函數，在和為增函數；
當時，在為增函數；
當時，在為減函數，在和為增函數；
（2）由（1）可當函數不存在極值點，
當時，可知函數
，
所以成立；
當時，可知函數
，
令，
則
，
，
當
時，
，即
在為減函數，
所以
，所以在上為減函數，
又因為
，所以
，
由在上為減函數，得
.
綜上所述，當，
.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題中：①若“
”是“
”的充要條件；
②若“
，
”，則實數
的取值范圍是
；
③已知平面
、
、
，直線
、
，若
，
，
，
，則
；
④函數
的所有零點存在區間是
.
其中正確的個數是（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一項針對某一線城市30～50歲都市中年人的消費水平進行調查，現抽查500名（200名女性，300名男性）此城市中年人，最近一年內購買六類高價商品（電子產品、服裝、手表、運動與戶外用品、珠寶首飾、箱包）的金額（萬元）的頻數分布表如下：
（1）將頻率視為概率，估計該城市中年人購買六類高價商品的金額不低于5000元的概率.
（2）把購買六類高價商品的金額不低于5000元的中年人稱為“高收入人群”，根據已知條件完成2
2列聯表，并據此判斷能否有95%的把握認為“高收入人群”與性別有關？
參考公式：
，其中
參考附表：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）求直線和曲線的普通方程；
（2）已知點
，且直線和曲線交于
兩點，求
的值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
、
，焦點為的拋物線
的準線被橢圓
截得的弦長為
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點、到直線
的距離之積為
，求證：直線
與橢圓相切．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現定義：設
是非零實常數，若對于任意的
，都有
，則稱函數
為“關于的偶型函數”
（1）請以三角函數為例，寫出一個“關于2的偶型函數”的解析式，并給予證明
（2）設定義域為的“關于的偶型函數”在區間
上單調遞增，求證在區間
上單調遞減
（3）設定義域為
的“關于
的偶型函數”是奇函數，若
，請猜測
的值，并用數學歸納法證明你的結論
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，平面
平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，
，
，
，O是AD的中點.
（1）在線段PA上找一點E，使得
平面PCD，并證明；
（2）在（1）的條件下，若
，求平面OBE與平面POC所成的銳二面角的余弦值.
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