Question

【題目】已知函數．

求的單調區間和極值；

當時，若，且，證明：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；

（2）代入a的值，求出函數的導數，結合均值不等式以及函數的單調性證明即可．

函數的定義域為，，

當時，，在上單調遞增，無極值；

當時，由，得，

當時，，得的單調遞增區間是；

當時，，得的單調遞減區間是，

故的極大值為，無極小值,

綜上：當時，單調遞增區間是，無減區間；無極值；

當時，單調遞增區間是，單調遞減區間是，極大值為，無極小值.

當時，，，

依題意，，則，

所以，即

由均值不等式可得，

所以，則有．

而，

將代入上式得，

令，則，，

，，即，在上單調遞減，

于是，即，得證．