Question

【題目】已知函數的相鄰兩對稱軸間的距離為，若將的圖像先向左平移個單位，再向下平移個單位，所得的函數為奇函數．

（1）求的解析式；

（2）若關于的方程在區間上有兩個不等實根，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據相鄰兩對稱軸間的距離求出值，由函數圖像的變換關系，求出函數，再結合是奇函數，即可求出參數；

（2）設，，原方程在區間上有兩個不等實根，轉化為方程在內僅有一個根，且另一個根，轉化一元二次方程根的分布求參數，或分離參數轉化為對勾函數與直線交點橫坐標范圍，即可求解.

解：（1）由題意知的周期，

故，

而

為奇函數，則，且

，

而，故，因此；

（2）由（1）知，題意等價于

在區間上有兩個不等實根，

令，，則題意

方程在內僅有一個根，且另一個根．

法一：令，則題意或；

法二：顯然不是該方程的根，題意

與的圖像在內僅有一個交點且另一個交點不為，

由于對勾函數在上單減，在上單增，

故有或，因此．