Question

7．如圖：已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點，
（Ⅰ） 求證：PC∥平面EBD；
（Ⅱ） 求證：BC⊥PC．
（Ⅲ） 若：PD=DA=2，求：三棱錐E-ABD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC交BD與O，連接EO，則EO∥PC，由此能證明PC∥平面EBD．
（Ⅱ）推導出PA⊥BC，BC⊥CD，從而BC⊥平面PCD，由此能證明BC⊥PC．
（Ⅲ） 求出點E到平面ABCD的距離h=$\frac{1}{2}$PD=1，再求出△ABD的面積，由此能求出三棱錐E-ABD的體積．

解答 證明：（Ⅰ）連接AC交BD與O，連接EO，
∵E、O分別為PA、AC的中點，∴EO∥PC，
∵PC?平面EBD，EO?平面EBD，∴PC∥平面EBD．  …（4分）
（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，…（7分）
∵ABCD為正方形，∴BC⊥CD，…（8分）
∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，
又∵PC?平面PCD，∴BC⊥PC． …（8分）
解：（Ⅲ）∵PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點，PD=DA=2，
∴點E到平面ABCD的距離h=$\frac{1}{2}$PD=1，
${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×AD$=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
∴三棱錐E-ABD的體積是V_E-ABD=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABD}×h$=$\frac{1}{3}×2×1$=$\frac{2}{3}$． …（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．