Question

12．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}$+ax在x=-1是取得極值．
（1）求實數a的值；
（2）求函數y=f（x）在區間[-2，0）上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據f′（-1）=0，求出a的值即可；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²-2x+a，
由函數在x=-1處取極值，故f′（-1）=0，
即1+2+a=0，解得：a=-3；
（2）由（1）得：f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，
故f′（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
故f（x）在[-2，-1）遞增，在（-1，0）遞減，
由f（-2）=-$\frac{2}{3}$，f（-1）=$\frac{5}{3}$，
故f（x）_max=f（-1）=$\frac{5}{3}$，
f（x）_min=f（-2）=-$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及極值的意義，是一道中檔題．