Question

已知a,b,c是不全相等的正數,求證:a(b²+c²)+b(c²+a²)+c(a²+b²)＞6abc.

Answer 1

證明:∵b²+c²≥2bc,a＞0,?

∴a(b²+c²)≥2abc.                               ①?

同理,b(a²+c²)≥2abc,                          ②?

c(a²+b²)≥2abc.                                  ③?

∵a,b,c不全相等,∴b²+c²≥2bc,c²+a²≥2ac,a²+b²≥2ab三式不能全取“=”，從而①②③三式也不能全取“=”.

∴a(b²+c²)+b(c²+a²)+c(a²+b²)＞6abc.