Question

已知a,b,c是不全相等的正數(shù),求證:a(b²+c²)+b(c²+a²)+c(a²+b²)＞6abc.

Answer 1

證明：∵a＞0,b²+c²≥2bc,

∴由不等式的性質(zhì),得a(b²+c²)≥2abc.①

同理,b(c²+a²)≥2abc,②

c(a²+b²)≥2abc.③

因?yàn)閍,b,c為不全相等的正數(shù),所以b²+c²≥2bc,c²+a²≥2ca,a²+b²≥2ab三式不能全取“＝”，從而①②③三式也不能全取“=”.

由不等式的性質(zhì)的推論,①②③三式相加,得a(b²+c²)+b(c²+a²)+c(a²+b²)＞6abc.