Question

【題目】已知奇函數對任意，總有，且當時，，.

（1）求證：是上的減函數；

（2）求在上的最大值和最小值；

（3）若，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）最大值為，最小值為；（3）.

【解析】

試題分析：(1)令,再令即可證得,利用函數的單調性的定義與奇函數的性質,結合已知即可證得是上的減函數；(2)利用在上是減函數可以知道在上也是減函數,易求,從而可求得在上的最大值和最小值；(3)根據題意, ,從而可求實數的取值范圍.

試題解析：（1）證明：令，則，令，則.

在上任意取，且，則，

.

,又時，.

即，有定義可知函數在上為單調遞減函數.

（2）在上是減函數，在上也是減函數.

又，

由可得.

故在上最大值為，最小值為.

（3），由（1）、（2）可得，

，故實數的取值范圍為