Question

已知

a

，

b

是非零向量，

a

與

b

的夾角為θ，當

a

+t

b

（t∈R）的模取得最小值時．
（1）求t的值；
（2）若

a

與

b

同向共線，求證：

b

⊥(

a

+t

b

)．

Answer 1

分析：（1）由兩個向量的夾角，表示出兩個向量的模長然后根據二次函數的性質可求取得最小值時的t
（2）本題要證明兩個向量垂直，可通過向量的數量積為零來證明，求兩個向量數量積，根據上一問做出的結果，代入數量積的式子，即可證明

解答：（1）解：∵|

a

+t

b

|=

( a +t b )2

=

a 2+2t a • b +t2 b 2

=

a 2+2t| a || b |cosθ+ b 2

t²
=

b 2(t+ | a | | b | cosθ)2+| a |sin2θ

根據二次函數的知識可得，當t=-

| a |

| b |

cosθ=-

| a || b |

| b |2

cosθ=

a • b

| b |2

×（-1）時，|

a

+t

b

|取得最小值．
（2）證明：

b

•(

a

+t

b

)=

b

•(

a

-

a • b

| b |2

•

b

)=

b

•

a

-

a • b

| b |2

•

b

2=

a

•

b

-

a

•

b

=0
∴

b

⊥(

a

+t

b

)．

點評：在理解數量積的運算特點的基礎上，逐步把握數量積的運算律，引導學生注意數量積性質的相關問題的特點，以熟練地應用數量積的性質．?