Question

已知

a

，

b

是非零向量，t為實數，設

u

=

a

+

tb

．
（1）當|

u

|取最小值時，求實數t的值；
（2）當|

u

|取最小值時，求證

b

⊥（

a

+

b

）．

Answer 1

分析：（1）要求|

u

|取最小值，我們可以根據

u

=

a

+

tb

，計算|

u

|²，然后構造一個關于t的函數，利用二次函數求最值的辦法，進行求解．
（2）要求證

b

⊥（

a

+

b

），可根據向量垂直的充條條件，判斷

b

•（

a

+

b

）=0．

解答：解：（1）解：|

u

|²=

a

²+2

a

•

b

t+（t²）

b

²
=|

b

|²t²+2

a

•

b

t+|

a

|²
當|

u

|²有最小值時，
|

u

|有最小值．
設f（t）=（

b

t）²+2

a

•

b

t+

a

²，
f'（t）=2

b

²t+2

a

b

=0時，
|

u

|有最小值
此時t=-

a • b

| b |2

（2）證明：∵

b

•（

a

+t

b

）
=

a

•

b

+（-

a • b

| b |2

•

b

²）
=

a

•

b

-

a

•

b

=0
∴

b

與

a

+t

b

垂直．

點評：判斷兩個向量的關系（平行或垂直）或是已知兩個向量的關系求未知參數的值，要熟練掌握向量平行（共線）及垂直的坐標運算法則，即“兩個向量若平行，交叉相乘差為0，兩個向量若垂直，對應相乘和為0”．