Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的左焦點為F（﹣2，0），離心率為 ． （Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設O為坐標原點，T為直線x=﹣3上一點，過F作TF的垂線交橢圓于P、Q，當四邊形OPTQ是平行四邊形時，求四邊形OPTQ的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得 ， 解得c=2，a= ，b= ．
∴橢圓C的標準方程為 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），
設T（﹣3，m），則直線TF的斜率 ，
∵TF⊥PQ，可得直線PQ的方程為x=my﹣2．
設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）．
聯立 ，化為（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，
△＞0，∴y1+y2= ，y1y2= ．
∴x1+x2=m（y1+y2）﹣4= ．
∵四邊形OPTQ是平行四邊形，
∴ ，∴（x1 ， y1）=（﹣3﹣x2 ， m﹣y2），
∴ ，解得m=±1．
此時四邊形OPTQ的面積S= ═ = ．
【解析】（Ⅰ）由題意可得 ，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），設T（﹣3，m），可得直線TF的斜率kTF=﹣m，由于TF⊥PQ，可得直線PQ的方程為x=my﹣2．設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）．直線方程與橢圓方程可得根與系數的關系．由于四邊形OPTQ是平行四邊形，可得 ，即可解得m．此時四邊形OPTQ的面積S= ．