Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ABB1A1 ， ACC1A1均為正方形，∠BAC=90°，點D是棱B1C1的中點．請建立適當的坐標系，求解下列問題： （Ⅰ）求證：異面直線A1D與BC互相垂直；
（Ⅱ）求二面角（鈍角）D﹣A1C﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】解：因為側面ABB1A1C1 ， ACC1A1均為正方形，∠BAC=90°， 所以AB，AC，AA1兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標系A﹣xyz
設AB=1，則C（0，1，0），B（1，0，0），A1（0，0，1），D（ ， ，1）．
（Ⅰ）證明：由上可知： ，
所以 ，
所以 ，
所以，異面直線A1D與BC互相垂直．
（Ⅱ）解： =（ ， ，0）， =（0，1，﹣1），
設平面DA1C的法向量為 =（x，y，z），則有

， ，
取x=1，得 =（1，﹣1，﹣1）
又因為AB⊥平面ACC1A1 ， 所以平面ACC1A1的法向量為 =（1，0，0），
∴cos = = = ，
因為二面角D﹣A1C﹣A是鈍角，
所以，二面角D﹣A1C﹣A的余弦值為- ．
【解析】（Ⅰ）AB，AC，AA1兩兩互相垂直，建立直角坐標系A﹣xyz，設AB=1，求出相關點的坐標，通過證明 =0，即可證明異面直線A1D與BC互相垂直．（Ⅱ）求出平面DA1C的法向量，平面ACC1A1的法向量利用空間向量的數量積求解即可．
【考點精析】通過靈活運用異面直線及其所成的角，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系即可以解答此題．