Question

【題目】知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案見(jiàn)解析.（2）.

【解析】

（1）求出，以解的個(gè)數(shù)以及解的大小關(guān)系為分類標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)進(jìn)行討論，求出的解，得到單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值；

（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖像恰有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)（1）中的結(jié)論，確定與極值的關(guān)系，即可求出結(jié)論.

（1），

①當(dāng)時(shí)，令，

時(shí)，，單調(diào)遞減；

時(shí)，，單調(diào)遞增；

所以有極小值，無(wú)極大值；

②當(dāng)時(shí)，令或，

(ⅰ)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；

時(shí)，，單調(diào)遞減；

所以有極小值，

有極大值；

(ⅱ)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減；

時(shí)，，單調(diào)遞增；

時(shí)，，單調(diào)避減；

所以有極小值，有極大值；

(ⅲ)當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，無(wú)極值.

（2）若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，

即函數(shù)與函數(shù)的圖像恰有兩個(gè)交點(diǎn)，由（1）知，

①當(dāng)時(shí)，

只須滿足，所以；

②當(dāng)時(shí)，

(ⅰ)時(shí)，結(jié)合（1）知，時(shí)，單調(diào)遞減，，

只須滿足或，

解得或(舍)或；

(ⅱ)時(shí)，結(jié)合（1）知只須滿足或，

解得(舍)或或(舍)；

綜上，的取值范圍為.