Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)有一正一負兩個極值點，求實數(shù)的范圍；

（2）當時，證明：對，.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合有一正一負兩個極值點則有一正一負兩個零點列不等式，解不等式求得的取值范圍.

（2）利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值為；通過結(jié)合導(dǎo)數(shù)，對進行分類討論，求得的最小值大于零，由此證得對，.

（1）對求導(dǎo)，

得，

令，

因為函數(shù)有一正一負兩個極值點，

所以函數(shù)有一正一負兩個零點，

則，解得.

（2）對于，求導(dǎo)得，

當時，；時，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以時，取得最大值，.

由（1）知，

令，

解得或.

①當時，，

則時，，單調(diào)遞增；

時，，單調(diào)遞減；

時，，單調(diào)遞增.

所以時，取得極大值，，

因為，所以.

時，取得極小值，，

因為，所以.

又當時，，，所以，

當時，，，所以

因為，所以.

②當時，恒成立，

綜上知，當時，對，.