Question

已知m是正整數，若關于x的方程2x-m

10-x

-m+10=0有整數解，則x所有可能的取值的和等于

20

．

Answer 1

分析：首先根據方程2x-m

10-x

-m+10=0求得m=

2x+10

1+ 10-x

，再假設y=

10-x

，（y為非負整數），則求得x代入轉化為y的方程．利用整數的特點進一步確定y的值，進而求得m的值．

解答：解：2x-m

10-x

-m+10=0有整數解，
顯然滿足條件的x，必使得

10-x

為整數，否則m=

2x+10

1+ 10-x

不可能為整數，設y=

10-x

，（y為非負整數），
則m=

2(10-y2)+10

1+y

=

2(1-y2)+28

1+y

=2（1-y）+

28

1+y

，∵y為非負整數 （又1+y能整除28），
∴要使m為正整數，則1+y=1，2，4，
所以y=0，1，3，此時x=10，9，1，x所有可能的取值的和等于20
故答案為：20

點評：本題考查一元二次方程整數根與有理根．解決本題巧妙運用整數的特點及在分數計算中整數的倍數關系求解