Question

9．給出定義：若 m-$\frac{1}{2}$＜x≤m+$\frac{1}{2}$（其中m為整數），則m叫做離實數x最近的整數，記作{x}，即{x}=m．在此基礎上給出下列關于函數f（x）=x-{x}的四個命題：
①函數y=f（x）的定義域是R，值域是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
②函數y=f（x）的圖象關于y軸對稱；
③數y=f（x）的圖象關于坐標原點對稱；
④函數y=f（x）在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是增函數；
則其中正確命題是①④（填序號）．

Answer 1

分析 依據函數定義，得到f（x）=x-{x}∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，再對四個命題逐個驗證后，即可得到正確結論

解答 解：由題意知，{x}-$\frac{1}{2}$＜x≤{x}+$\frac{1}{2}$，
則得到f（x）=x-{x}∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，則命題①為真命題；
由于k∈Z時，f（k）=k-{k}=k-k=0，但由于f（x）∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
故函數不是中心對稱圖形，故命題③為假命題；
由于{x}-$\frac{1}{2}$＜x≤{x}+$\frac{1}{2}$，則得到f（x）=x-{x}為分段函數，且在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]為增函數，故命題④為真命題．
進而可得：函數圖象不可能關于y軸對稱，故命題②為假命題；
正確的命題為①④
故答案為：①④

點評 本題考查的知識點是，判斷命題真假，我們可以根據給定函數的定義對四個結論逐一進行判斷，屬于中檔題