Question

已知f（x）=a-

1

3x-1

是奇函數，則f（x）的值域為

 

．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：運用奇函數的定義，求得a，再討論x＞0，x＜0時f（x）的范圍，注意運用指數函數的單調性，即可得到值域．

解答： 解：f（x）=a-

1

3x-1

是奇函數，
則f（-x）+f（x）=0，
即有a-

1

3-x-1

+a-

1

3x-1

=0，
即2a=

3x

1-3x

+

1

3x-1

=-1，
解得，a=-

1

2

，
則f（x）=-

1

2

-

1

3x-1

，
由于x≠0，則當x＞0時，3^x＞1，

1

3x-1

＞0，
-

1

3x-1

＜0，則f（x）＜-

1

2

，
由于f（x）為奇函數，則x＜0時，f（x）＞

1

2

．
則f（x）的值域為（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）
故答案為：（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．

點評：本題考查函數的奇偶性的判斷和運用，考查指數函數的單調性和運用，考查運算能力，屬于基礎題．