Question

11．已知非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$滿足2|$\overrightarrow{a}$|=3|$\overrightarrow{b}$|，|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根據平面向量的數量積與模長公式，列出方程求出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$夾角的余弦值．

解答 解：∵2|$\overrightarrow{a}$|=3|$\overrightarrow{b}$|，|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+4${\overrightarrow{b}}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$，
∴2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$，
即2|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=${\overrightarrow{b}}^{2}$，
2×$\frac{3}{2}$|$\overrightarrow{b}$|×|$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=${|\overrightarrow{b}|}^{2}$；
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{1}{3}$，
即$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$夾角的余弦值為$\frac{1}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查了平面向量的數量積與模長公式的應用問題，是基礎題目．