Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x-m|-|x+3m|（m＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)m=1時，求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）對于任意實數(shù)x，t，不等式f（x）＜|2+t|+|t-1|恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將m=1的值帶入，得到關(guān)于x的不等式組，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）問題等價于對任意的實數(shù)xf（x）＜[|2+t|+|t-1|]_min恒成立，根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出f（x）的最大值以及[|2+t|+|t-1|]_min，求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=|{x-m}|-|{x+3m}|=\left\{\begin{array}{l}-4m\\-2x-2m\\ 4m\end{array}\right.$$\begin{array}{l}x≥m\\-3m＜x＜m\\ x≤-3m\end{array}$，
當(dāng)m=1時，由$\left\{\begin{array}{l}-2x-2≥1\\-3＜x＜1\end{array}\right.$或x≤-3，得到$x≤-\frac{3}{2}$，
∴不等式f（x）≥1的解集為$\left\{{x\left|{x≤-\frac{3}{2}}\right.}\right\}$；
（Ⅱ）不等式f（x）＜|2+t|+|t-1|對任意的實數(shù)t，x恒成立，
等價于對任意的實數(shù)f（x）＜[|2+t|+|t-1|]_min恒成立，
即[f（x）]_max＜[|2+t|+|t-1|]_min，
∵f（x）=|x-m|-|x+3m|≤|（x-m）-（x+3m）|=4m，
|2+t|+|t-1|≥|（2+t）-（t-1）|=3，
∴4m＜3又m＞0，所以$0＜m＜\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查絕對值的性質(zhì)以及分類討論思想，是一道中檔題．