Question

【題目】拋擲三枚不同的具有正、反兩面的金屬制品A1、A2、A3 ， 假定A1正面向上的概率為 ，A2正面向上的概率為 ，A3正面向上的概率為t（0＜t＜1），把這三枚金屬制品各拋擲一次，設ξ表示正面向上的枚數．
（1）求ξ的分布列及數學期望Eξ（用t表示）；
（2）令an=（2n﹣1）cos（ Eξ）（n∈N+），求數列{an}的前n項和．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，ξ的可能取值為0、1、2、3，

P（ξ=0）= （1﹣t）= ，

P（ξ=1）= （1﹣t）+ （1﹣t）+ t= ，

P（ξ=2）= （1﹣t）+ t+ t= ，

P（ξ=3）= t= ，

∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

數學期望Eξ=0 +1 +2 +3 = ；

（2）解：由（1）可知an=（2n﹣1）cos（ ）

=（2n﹣1）cos（nπ）

=（﹣1）n（2n﹣1），

當n為偶數時，Sn=[（﹣1）+3]+[（﹣5）+7]+…+[﹣（2n﹣3）+（2n﹣1）]

=2

=n；

當n為奇數時，Sn=[（﹣1）+3]+[（﹣5）+7]+…+[﹣（2n﹣5）+（2n﹣3）]+[﹣（2n﹣1）]

=2 ﹣（2n﹣1）

=n﹣1﹣2n+1

=﹣n；

綜上所述，Sn=（﹣1）nn．

【解析】（1）通過求出ξ=0、1、2、3時相應的概率，進而求出ξ的分布列及數學期望Eξ；（2）通過（1）、化簡可知an=（﹣1）n（2n﹣1），進而分n為奇數、偶數兩種情況討論即可求出Sn ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對離散型隨機變量及其分布列的理解，了解在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．