Question

已知點A（0，-2），橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸長為4，F是橢圓的右焦點，直線AF的一個方向向量為

d

=(

3

 ， 2)，O為坐標原點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設過點A的動直線l與橢圓E相交于P、Q兩點，當△OPQ的面積S最大時，求l的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設F（c，0），得到直線AF的方程，令y=0，得c的值，由b²=a²-c²=1，從而求出橢圓的方程；
（2）由題意，設直線l的方程為y=kx-2，得到方程（4k²+1）x²-16kx+12=0，表示出|PQ|的長，從而表示△OPQ的面積，進而求出l的方程．

解答： 解：（1）設F（c，0），直線AF的方程為

x

3

=

y+2

2

，…（2分）
令y=0，得x=

3

，即c=

3

，…（3分）
由已知，a=2，所以b²=a²-c²=1．  …（5分）
所以橢圓E的方程為

x2

4

+y2=1．      …（6分）
（2）由題意，設直線l的方程為y=kx-2，
將y=kx-2代入

x2

4

+y2=1，得（4k²+1）x²-16kx+12=0，…（1分）
當△=16（4k²-3）＞0，即k2＞

3

4

時，直線l與橢圓E相交，…（2分）
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

16k

4k2+1

，x1x2=

12

4k2+1

，…（3分）
所以|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(k2+1)(x1-x2)2

=

(k2+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(k2+1)•[( 16k 4k2+1 )2- 48 4k2+1 ]

=

4 k2+1

4k2+1

•

4k2-3

，
又點O到直線l的距離d=

2

k2+1

，所以△OPQ的面積S=

1

2

|PQ|•d=

4 4k2-3

4k2+1

．
設

4k2-3

=t，則t＞0，S=

4t

t2+4

=

4

t+ 4 t

，…（5分）
因為t+

4

t

≥4，所以S≤1，當且僅當t=2，即k=±

7

2

時，S取最大值1．…（7分）
所以，當△OPQ的面積S最大時，直線l的方程為y=±

7

2

x-2． …（8分）
（直線方程用其他形式也可以）

點評：本題考查了橢圓方程，考查了向量問題，考查了函數的最值問題，本題有一定的難度．