Question

已知，，
（1）求f（x）的定義域　　 （2）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；　 （3）證明f（x）＞0．

Answer 1

解：（1）由2^x-1≠0得x≠0，
∴f（x）的定義域為{x|x≠0，x∈R}．
（2）∵f（x）=x（+）=•，
f（-x）=-•=•=f（x），，
∴f（x）為偶函數．
（3）證明：∵f（x）=•，
當x＞0，2^x＞2⁰，即2^x-1＞0，又2^x+1＞0，
∴f（x）＞0；
同理當x＜0，則2^x-1＜0，又2^x+1＞0，
∴f（x）=•＞0；
∴f（x）＞0．
又x≠0．綜上所述，f（x）＞0．
分析：（1）由2^x-1≠0即可求得f（x）的定義域；
（2）利用奇偶函數的定義f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）即可判斷f（x）的奇偶性；
（3）可對x分x＞0與x＜0討論解決．
點評：本題考查函數奇偶性的判斷，著重綜合考查函數的性質，屬于中檔題．