Question

已知函數，
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并用定義證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據使函數的解析式有意義的原則，結合對數函數的真數部分必須大于0，可以構造關于x的不等式，可得函數的定義域；
（2）取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，根據對數的運算性質及指數函數的性質，判斷出f（x₁），f（x₂）的大小，結合函數單調性的定義可得函數的單調性．
解答：解：（1）要使函數的解析式有意義
自變量必須滿足2^x-1＞0
即2^x＞1=2
∴x＞0，
即f（x）的定義域為{x|x＞0}---------（5分）
（2）f（x）的在定義域內為增函數．理由如下：
設x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
-----------------（8分）
∵x₂＞x₁＞0
∴
∴
∴------------------------------------（10分）
f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即函數f（x）為定義域內增函數--------------------（12分）
點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質，函數的定義域及函數的單調性，其中熟練掌握函數定義域的求法及函數單調性的證明方法是解答的關鍵．