Question

直線y=x+b與曲線x=

1-y2

有且只有一個公共點，則實數b的取值范圍是（　　）

• A．b=

  2

• B．-1＜b≤1或b=-

  2

• C．-1≤b≤1
• D．以上都不對

Answer 1

分析：把曲線方程整理后可知其圖象為半圓，進而畫出圖象來，要使直線與曲線有且僅有一個交點，利用直線與圓的位置關系進行判斷．

解答：解：由x=

1-y2

，化簡得x²+y²=1，注意到x≥0，所以這個曲線應該是半徑為1，圓心是（0，0）的半圓，且其圖象只在一、四象限．
畫出圖象，這樣因為直線與其只有一個交點，
從圖上看出其三個極端情況分別是：
①直線在第四象限與曲線相切，②交曲線于（0，-1）和另一個點，③與曲線交于點（0，1）．
直線在第四象限與曲線相切時解得b=-

2

，當直線y=x+b經過點（0，1）時，b=1．
當直線y=x+b經過點（0，-1）時，b=-1，所以此時-1＜b≤1．
綜上滿足只有一個公共點的實數b 的取值范圍是：-1＜b≤1或b=-

2

．
故選B．

點評：本題主要考查了直線與圓相交的性質．對于此類問題除了用聯立方程轉化為方程的根的問題之外，也可用數形結合的方法較為直觀．