Question

直線y=x+b與曲線x+1=

1-y2

有兩個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍是

(1-

2

，0]

．

Answer 1

分析：曲線即 （x+1）²+y²=1（ x≥-1），表示以C（-1，0）為圓心，半徑等于1的半圓．由題意可得直線y=x+b與
半圓有2個(gè)交點(diǎn)，求出直線y=x+b過點(diǎn)A（-1，-1）時(shí)的b值，再求出直線和半圓相切時(shí)的b值，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．

解答：解：曲線x+1=

1-y2

，即 （x+1）²+y²=1（ x≥-1），
表示以C（-1，0）為圓心，半徑等于1的半圓（在直線x-1的右側(cè)），
由題意可得，直線y=x+b與半圓有2個(gè)交點(diǎn)．如圖所示：
當(dāng)直線y=x+b過點(diǎn)A（-1，-1）時(shí)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可得-1=-1+b，b=0．
當(dāng)直線y=x+b和半圓相切時(shí)，由圓心C（-1，0）到直線y=x+b的距離等于半徑可得

|-1-0+b|

2

=1，
解得b=-1+

2

（舍去），或 b=-1-

2

．
故b的取值范圍是(1-

2

，0]，
故答案為 (1-

2

，0]．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合
的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．