Question

14．過拋物線y²=8x焦點F作直線l交拋物線于A、B兩點，若線段AB中點M的橫坐標為4，則|AB|=12．

Answer 1

分析 由中點坐標公式可知：x₁+x₂=2×4，則丨AA₁丨+丨BB₁丨=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+p=8+4=12，則丨AA₁丨+丨BB₁丨=丨AF丨+丨BF丨=丨AB丨，即可求得|AB|．

解答 解：拋物線y²=8x的焦點為F（2，0），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（4，y₀），過A，B，M做準線的垂直，垂足分別為A₁，B₁及M₁，
由中點坐標公式可知：x₁+x₂=2×4=8，
∴丨AA₁丨+丨BB₁丨=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+p=8+4=12
∴丨AA₁丨+丨BB₁丨=12
由拋物線的性質可知：丨AA₁丨+丨BB₁丨=丨AF丨+丨BF丨=丨AB丨，
∴丨AB丨=12，
故答案為：12．

點評 本題考查拋物線的性質，考查中點坐標公式，直線與拋物線的關系，考查數形結合思想，屬于中檔題．