Question

18．已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-1（{x≤0}）\\ f（{x-1}）+1（{x＞0}）\end{array}\right.$，把函數g（x）=f（x）-x的零點的順序排列成一個數列，則該數列的通項公式為（　　）

• A． ${a_n}=\frac{{n（{n-1}）}}{2}$
• B． a_n=n（n-1）
• C． a_n=n-1
• D． ${a_n}={2^n}-2$

Answer 1

分析 根據函數的零點的定義，構造兩函數圖象的交點，交點的橫坐標即為函數的零點，再通過數列及通項公式的概念得所求的解．

解答 解：當x∈（-∞，0]時，
由g（x）=f（x）-x=2^x-1-x=0，得2^x=x+1．
令y=2^x，y=x+1．
在同一個坐標系內作出兩函數在區間
（-∞，0]上的圖象，
由圖象易知交點為（0，1），
故得到函數的零點為x=0．
當x∈（0，1]時，x-1∈（-1，0]，
f（x）=f（x-1）+1=2^x-1-1+1=2^x-1，
由g（x）=f（x）-x=2^x-1-x=0，得2^x-1=x．
令y=2^x-1，y=x．
在同一個坐標系內作出兩函數在區間（0，1]上的圖象，由圖象易知交點為（1，1），
故得到函數的零點為x=1．
當x∈（1，2]時，x-1∈（0，1]，f（x）=f（x-1）+1=2^x-1-1+1=2^x-2+1，
由g（x）=f（x）-x=2^x-2+1-x=0，得2^x-2=x-1．令y=2^x-2，y=x-1．
在同一個坐標系內作出兩函數在區間（1，2]上的圖象，
由圖象易知交點為（2，1），故得到函數的零點為x=2．
依此類推，當x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]時，
構造的兩函數圖象的交點依次為（3，1），（4，1），…，（n+1，1），
得對應的零點分別為x=3，x=4，…，x=n+1．
故所有的零點從小到大依次排列為0，1，2，…，n+1．其對應的數列的通項公式為a_n=n-1．
故選：C．

點評 本題主要考查了函數零點的概念及零點的求法、數列的概念及簡單表示；培養學生觀察、分析、歸納、推理的能力；解題中使用了數形結合及分類討論的數學方法和數學思想