Question

已知數列{a_n}中，a1=1，an+1=(1+

1

n2

)an+

1

3n-1

，n∈N*．
（1）求證：當n≥2且n∈N^*時，a_n≥3；
（2）求證：a_n＜e³，n∈N^*（e為自然對數的底數，參考數據ln3＜1.1，ln4＜1.4）．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列遞推式,數列與函數的綜合,數學歸納法

專題：等差數列與等比數列,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（ I）證明：方法一：通過已知條件以及an+1=(1+

1

n2

)an+

1

3n-1

，推出a_n＞0，化簡a_n+1-a_n得到an+1＞an(n∈N*)，然后證明a_n≥3（n≥2）．
方法二：利用數學歸納法的步驟直接證明即可．
（ II）證明：由（ I）推出a_n+1≤(1+

1

n2

+

1

3n-1

)an，兩邊取自然對數得lnan+1≤lnan+ln(1+

1

n2

+

1

3n-1

)，構造f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），求解導數f′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0恒成立，轉化為f（x）為[0，+∞）上的減函數，通過放縮法得到lna_n+1-lna_n＜

1

n-1

-

1

n

+

1

3n-1

（n≥2），通過求和與放縮推出lnan-lna2＜

3

2

（n≥3），然后證明an＜e3（n∈N^*）．

解答： （本小題滿分12分）
（ I）證明：方法一：
∵a₁=1＞0，由an+1=(1+

1

n2

)an+

1

3n-1

得a₂＞0，
于是易得a_n＞0．…（2分）
又an+1-an=

an

n2

+

1

3n-1

＞0(n∈N*)，即an+1＞an(n∈N*)又∵a₂=3，∴a_n≥a₂=3（n≥2）．…（4分）
方法二：數學歸納法
（1）當n=2時，a_n=a₂=3≥3，命題成立．…（1分）
（2）假設當n=k（n≥2）時命題成立，即a_k≥3，
當n=k+1時，ak+1=(1+

1

k2

)ak+

1

3k-1

=ak+

ak

k2

+

1

3k-1

＞ak≥3∴n=k+1時命題成立．…（3分）
由（1）（2）可知，當n≥2時，a_n≥3．…（4分）
（ II）證明：由（ I）知an+1=(1+

1

n2

)an+

1

3n-1

≤(1+

1

n2

)an+

an

3n-1

=(1+

1

n2

+

1

3n-1

)an，…（5分）
兩邊取自然對數得：lnan+1≤lnan+ln(1+

1

n2

+

1

3n-1

)．…（6分）
令f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），
則當x＞0時，f′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0恒成立，
∴f（x）為[0．+∞）上的減函數，∴f（x）≤f（0）=0∴ln（1+x）＜x在x＞0時恒成立，…（7分）lnan+1＜lnan+

1

n2

+

1

3n-1

＜lnan+

1

n(n-1)

+

1

3n-1

=lnan+

1

n-1

-

1

n

+

1

3n-1

即lna_n+1-lna_n＜

1

n-1

-

1

n

+

1

3n-1

（n≥2），…（9分）
故，lnan-lnan-1＜

1

n-2

-

1

n-1

+

1

3n-2

，lnan-1-lnan-2＜

1

n-3

-

1

n-2

+

1

3n-3

…lna3-lna2＜1-

1

2

+

1

3

，以上各式相加得：lnan-lna2＜1-

1

n-1

+

1 3 [1-( 1 3 )n-2]

1- 1 3

＜1+

1

2

=

3

2

，（n≥3）…（10分）
又∵a₂=3，∴lnan＜

3

2

+ln3＜3，∴an＜e3（n≥3），…（11分）
又∵a₁=1＜e³，a₂=3＜e³，
∴an＜e3（n∈N^*）．…（12分）

點評：本題考查數列與不等式的綜合應用，數列與函數的綜合應用，數學歸納法的證明方法，放縮法的證明方法，數列的求和，考查分析問題解決問題的能力，轉化思想的應用，是難題．