Question

函數f（x）=3lnx+1，g（x）=

1

2

ax²+2x+b   
（1）f（x）與g（x）在交點P（1，1）處有相同的切線，求a，b值；
（2）若h（x）=f（x）-g（x）存在單調遞減區間，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=

3

x

，g′（x）=ax+2；從而由f（x）與g（x）在交點P（1，1）處有相同的切線得到f′（1）=g′（1），g（1）=

1

2

a+2+b=1，從而解得；
（2）化簡函數h（x）并求定義域，再求導h′（x）=

3

x

-（ax+2）=

3-ax2-2x

x

，從而化h（x）=f（x）-g（x）存在單調遞減區間為h′（x）＜0有解，從而求得．

解答： 解：（1）由題意，f′（x）=

3

x

，g′（x）=ax+2；
∵f（x）與g（x）在交點P（1，1）處有相同的切線，
∴f′（1）=3=g′（1）=a+2，
g（1）=

1

2

a+2+b=1，
解得a=1，b=-

3

2

；
（2）h（x）=f（x）-g（x）=3lnx+1-（

1

2

ax²+2x+b）的定義域為（0，+∞），
h′（x）=

3

x

-（ax+2）=

3-ax2-2x

x

，
若使h（x）=f（x）-g（x）存在單調遞減區間，
則只需使h′（x）＜0有解，
即-ax²-2x+3＜0在（0，+∞）上有解，
若a＞0，成立，
若a=0，當x＞

3

2

時成立；
若a＜0，∵-

-2

-2a

=-

1

a

＞0，
∴只需使△=4+4×3×a＞0；
故-

1

3

＜a＜0；
綜上所述，a的取值范圍為（-

1

3

，+∞）．

點評：本題考查了導數的綜合應用及單調性的應用，屬于中檔題．