Question

某中學已選派20名學生觀看當地舉行的三場（同時進行）比賽，名額分配如下：

足球	跳水	柔道
10	6	4

（Ⅰ）從觀看比賽的學生中任選2人，求他們恰好觀看的是同一場比賽的概率；
（Ⅱ）從觀看比賽的學生中任選3人，求他們中至少有1人觀看的是足球比賽的概率；
（Ⅲ）如果該中學可以再安排4名教師選擇觀看上述3場比賽（假設每名教師選擇觀看各場比賽是等可能的，且各位教師的選擇是相互獨立的），記觀看足球比賽的教師人數ξ為，求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）設從觀看比賽的學生中任選2人，他們恰好觀看的是同一場比賽為事件A． （1分）
則=．（3分）
答：從觀看比賽的學生中任選2人，他們恰好觀看的是同一場比賽的概率是．
（Ⅱ）解法1：設所選的3名學生均沒有觀看足球比賽為事件B． （4分）
則，所以．（7分）
答：從觀看比賽的學生中任選3人，他們中至少有1人觀看的是足球比賽的概率是．
解法2：設從觀看比賽的學生中任選3人，他們中至少有1人觀看的是足球比賽為事件C． （4分）
則P（C）==．（7分）
答：從觀看比賽的學生中任選3人，他們中至少有1人觀看的是足球比賽的概率是
（Ⅲ）解法1：ξ可能取的值為0，1，2，3，4．（8分）
由題意可知，每位教師觀看足球比賽的概率均為 （9分）
所以P（ξ=0）=； P（ξ=1）=；
p（ξ=2）=； p（ξ=3）=；
p（ξ=4）==．（11分）
隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P

（12分）
所以Eξ=．（14分）
解法2：由題意可知，每位教師觀看足球比賽的概率均為．（8分）
則隨機變量ξ～B（4，）．（10分）
所以隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P

（12分）
所以Eξ=np=4×=．（14分）
分析：（Ⅰ）設從觀看比賽的學生中任選2人，他們恰好觀看的是同一場比賽為事件A．由組合數公式能求出他們恰好觀看的是同一場比賽的概率．
（Ⅱ）解法1：設所選的3名學生均沒有觀看足球比賽為事件B．先求出B的概率，再由對立事件的概率求出他們中至少有1人觀看的是足球比賽的概率．
解法2：設從觀看比賽的學生中任選3人，他們中至少有1人觀看的是足球比賽為事件C． 由組合數公式求出他們中至少有1人觀看的是足球比賽的概率．
（Ⅲ）解法1：ξ可能取的值為0，1，2，3，4．由題意可知，每位教師觀看足球比賽的概率均為 所以P（ξ=0）=； P（ξ=1）=；p（ξ=2）=； p（ξ=3）=；p（ξ=4）==．由此能求出隨機變量ξ的分布列和Eξ．
解法2：由題意可知，每位教師觀看足球比賽的概率均為．隨機變量ξ～B（4，）．由此能求出隨機變量ξ的分布列和Eξ．
點評：本題考查離散型隨機變量的數學期和方差，解題時要認真審題，注意組合數公式的合理運用．