Question

某中學(xué)已選派20名學(xué)生觀看當(dāng)?shù)嘏e行的三場(chǎng)（同時(shí)進(jìn)行）比賽，名額分配如下：

足球	跳水	柔道
10	6	4

（Ⅰ）從觀看比賽的學(xué)生中任選2人，求他們恰好觀看的是同一場(chǎng)比賽的概率；
（Ⅱ）從觀看比賽的學(xué)生中任選3人，求他們中至少有1人觀看的是足球比賽的概率；
（Ⅲ）如果該中學(xué)可以再安排4名教師選擇觀看上述3場(chǎng)比賽（假設(shè)每名教師選擇觀看各場(chǎng)比賽是等可能的，且各位教師的選擇是相互獨(dú)立的），記觀看足球比賽的教師人數(shù)ξ為，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)從觀看比賽的學(xué)生中任選2人，他們恰好觀看的是同一場(chǎng)比賽為事件A．由組合數(shù)公式能求出他們恰好觀看的是同一場(chǎng)比賽的概率．
（Ⅱ）解法1：設(shè)所選的3名學(xué)生均沒(méi)有觀看足球比賽為事件B．先求出B的概率，再由對(duì)立事件的概率求出他們中至少有1人觀看的是足球比賽的概率．
解法2：設(shè)從觀看比賽的學(xué)生中任選3人，他們中至少有1人觀看的是足球比賽為事件C． 由組合數(shù)公式求出他們中至少有1人觀看的是足球比賽的概率．
（Ⅲ）解法1：ξ可能取的值為0，1，2，3，4．由題意可知，每位教師觀看足球比賽的概率均為

1

3

 所以P（ξ=0）=

C

0 4

(

1

3

)0(

4

3

)4=

16

81

； P（ξ=1）=

c

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3=

32

81

；p（ξ=2）=

c

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)  2=

24

81

=

8

27

； p（ξ=3）=

c

3 4

(

1

3

)3(

2

3

) =

8

81

；p（ξ=4）=

c

4 4

(

1

3

)4(

2

3

)0=

1

81

．由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和Eξ．
解法2：由題意可知，每位教師觀看足球比賽的概率均為

1

3

．隨機(jī)變量ξ～B（4，

1

3

）．由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和Eξ．

解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）設(shè)從觀看比賽的學(xué)生中任選2人，他們恰好觀看的是同一場(chǎng)比賽為事件A． （1分）
則P(A)=

C 2 10 + C 2 6 + C 2 4

C 2 20

=

33

95

．（3分）
答：從觀看比賽的學(xué)生中任選2人，他們恰好觀看的是同一場(chǎng)比賽的概率是

33

95

．
（Ⅱ）解法1：設(shè)所選的3名學(xué)生均沒(méi)有觀看足球比賽為事件B． （4分）
則P(B)=

C 3 10

C 3 20

=

2

19

，所以P(

.

B

) =1-P(B)=

17

19

．（7分）
答：從觀看比賽的學(xué)生中任選3人，他們中至少有1人觀看的是足球比賽的概率是

17

19

．
解法2：設(shè)從觀看比賽的學(xué)生中任選3人，他們中至少有1人觀看的是足球比賽為事件C． （4分）
則P（C）=

C 1 10 • C 2 10 + C 2 10 • C 1 10 + C 3 10

C 3 20

=

17

19

．（7分）
答：從觀看比賽的學(xué)生中任選3人，他們中至少有1人觀看的是足球比賽的概率是

17

19

（Ⅲ）解法1：ξ可能取的值為0，1，2，3，4．（8分）
由題意可知，每位教師觀看足球比賽的概率均為

1

3

 （9分）
所以P（ξ=0）=

C

0 4

(

1

3

)0(

4

3

)4=

16

81

； P（ξ=1）=

c

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3=

32

81

；
p（ξ=2）=

c

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)  2=

24

81

=

8

27

； p（ξ=3）=

c

3 4

(

1

3

)3(

2

3

) =

8

81

；
p（ξ=4）=

c

4 4

(

1

3

)4(

2

3

)0=

1

81

．（11分）
隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	8 27	8 81	1 81

（12分）
所以Eξ=0×

16

81

+1×

32

81

+2×

24

81

+3×

8

81

+4×

1

81

=

4

3

．（14分）
解法2：由題意可知，每位教師觀看足球比賽的概率均為

1

3

．（8分）
則隨機(jī)變量ξ～B（4，

1

3

）．（10分）
所以隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	8 27	8 81	1 81

（12分）
所以Eξ=np=4×

1

3

=

4

3

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期和方差，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意組合數(shù)公式的合理運(yùn)用．