Question

【題目】已知棱長為的正方體中，分別為棱和的中點.

（1）證明：平面；

（2）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）證法一：連結交于點，利用平幾知識證四邊形為平行四邊形，再根據線面平行判定定理得結果；證法二：取中點，利用平幾知識證∥，再根據線面平行判定定理得結果；

（2））解法一與解法二，利用等體積法求點到直線距離.

（1）證法一：如圖連結交于點，則點為的中點，連結，

∵為的中點，∴為的中位線，∴∥，

∵為的中點，∴∥，，∴四邊形為平行四邊形

∴∥，∵平面，平面

∴∥平面.

證法二：如圖取中點，連接，，因為正方體，

分別為中點，所以可得四邊形和四邊形均為平行四邊

形，所以∥∥，所以平面即為平行四邊形所在平面，因為

為的中點，所以也為中點，且為中點，所以∥，∴∥平面.

（2）解法一：延長到點，使得，連結，則∥平面，

則到平面的距離即到平面的距離，，點到平面的距

離為，，

設到平面的距離為，則，即

可得，即點到平面的距離為

解法二：由證法二知點到平面的距離為到平面的距離，所以，

且，，所以到平面的距離為.