Question

已知直線的參數方程為 (為參數)，曲線的極坐標方程為 
(1)求曲線的普通方程；
(2)求直線被曲線截得的弦長.

Answer 1

（１）（２）．

試題分析：（１）應用余弦的二倍角公式將曲線Ｃ的極坐標方程化為含的式子，然后應用公式即可求出曲線Ｃ的普通方程；（２）法一：利用直線的標準參數方程中參數的幾何意義來求弦長，選將直線參數方程化為標準參數方程，然后代入曲線Ｃ的普通方程，得到關于參數t的一個一元二次方程，由韋達定理可求出就是所求弦長；注意直線標準參數方程中參數的兩個系數的平方各等于1;法二：將直線的參數方程化為普通方程，聯立曲線C的普通方程，消元得到一個一元二次方程，再用韋達定理及弦長公式就可就出所求的弦長．
試題解析：（１）由曲線Ｃ：，化成普通方程為：①
（２）方法一：把直線參數方程化為標準參數方程為：②
把②代入①得：，設其兩根為，由韋達定理得：
從而弦長為|t₁－t₂|＝＝
方法二：把直線的參數方程化為普通方程為：代入得．設直線與曲線Ｃ交于，則；所以．