Question

【題目】已知在多面體中，平面平面，且四邊形為正方形，且//，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）構(gòu)造直線所在平面，由面面平行推證線面平行；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個平面的法向量，再由法向量之間的夾角，求得二面角的余弦值.

（1）過點(diǎn)交于點(diǎn)，連接，如下圖所示：

因?yàn)槠矫?/span>平面，且交線為,

又四邊形為正方形，故可得，

故可得平面，又平面，

故可得.

在三角形中，因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，，

故可得//，為中點(diǎn)；

又因?yàn)樗倪呅?/span>為等腰梯形，是的中點(diǎn)，

故可得//；

又，

且平面，平面,

故面面，

又因?yàn)?/span>平面，

故面.即證.

（2）連接，，作交于點(diǎn)，

由（1）可知平面，又因?yàn)?/span>//，故可得平面，

則；

又因?yàn)?/span>//，，故可得

即，，兩兩垂直，

則分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

，，，

，，

設(shè)面的法向量為，則，，

則，

可取，

設(shè)平面的法向量為，則，，

則，

可取，

可知平面與平面所成的銳二面角的余弦值為

.